[朗道《力学》](https://www.zhihu.com/question/348029701/answer/841692861)

俗话说，万变不离其宗。物理学经过了几百年的发展，已经有了众多分支，比如电动力学，量子力学，热力学与统计力学，但追本溯源，我们仍旧要回到力学，力学便是这个“宗”。

一般我们把力学分为牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学（个人感觉牛顿力学能够建立物理直觉，拉格朗日力学能够对力学建立系统认识，哈密顿力学能够对力学有更深刻的理解，并在学习其他物理学分支时可体会其精妙）。

因为朗道可能在幼儿园时就学过牛顿力学了，所以朗道建立力学理论时直接从拉格朗日力学出发。

第一章拉格朗日力学的基本概念是广义坐标和广义速度，这是笛卡尔坐标的自然推广，核心是自由度相同。然后引入了拉格朗日函数和作用量，根据力学中核心原理之一“最小作用量原理”，确定系统运动方程“欧拉-拉格朗日方程”。这样一套范式不仅对于力学系统适用，对于经典场论如电磁场、引力场也适用，对于量子场论也适用，这里我们可以看到理论物理的“宗”。

很容易证明欧拉-拉格朗日方程和牛顿方程等价，那为什么还要引入一个抽象的拉格朗日函数？首先拉格朗日函数具有可加性，这使得我们对于单质点的研究很容易推广到质点系。其次通过一些基本假设，如空间的均匀性和各向同性，我们可以直接定出质点的拉格朗日函数，不像牛顿力学里我们人为根据经验引入（这一点在研究未知体系时确定其拉格朗日函数尤为重要）。拉格朗日还有其他一些性质：比如可以乘以任意常数不影响运动方程，这归结为物理量度量单位的任意性；比如可以加上任意时间全导数不影响运动方程，这使得我们可以任意定义能量零点（其实这就是相对论力学里面的静能mc^2，相对论力学消除了这个任意性）。由此可见我们既找到了牛顿力学的等价描述，也使得我们的研究更加自由，拉格朗日函数代替牛顿力学中的核心概念——力，成为拉格朗日力学中的核心。顺便提一下，在拉格朗日力学里力就是势能的梯度（这为之后引入场的概念铺平了道路）。

力学的核心原理之二“伽利略相对性原理”确定了不同参考系的坐标变换关系，更重要的是提出了不变性的概念，即力学运动方程在伽利略变换下具有不变性（沿着这条思路，爱因斯坦建立了相对论力学，核心观点是相对性原理：所有自然规律在所有惯性参考系中都相同，即相互作用的传播速度在所有惯性参考系中都相同，也即光速不变性。当然还有更加深刻的关于相互作用的规范不变性）。伽利略变换是基于绝对时间的假设（所有惯性参考系的时钟都一样），当然我们现在知道这只在宏观低速下近似成立（牛顿力学的成功以及其近似成立也给了我们建立理论一个启示：每个物理理论必须界定其适用范围和精度），相对论力学里面时间和空间纠缠在一起，不同参考系满足洛伦兹变换（每个惯性参考系有一个时钟   ）。

第二章建立了欧拉-拉格朗日方程，运动规律随即确定，剩下的就是解方程（但是朗道并不会教我们怎么暴力求解数学物理方程，而是通过物理的分析获得对于运动规律的理解，这也是朗道教程的精髓）。因为运动方程都是微分方程，在我们求解的时候必然会产生积分常数，在物理上，有些积分常数具有物理意义（这是直接暴力求解数学物理方程不容易发现的）。积分常数既然是常数，意味着其 不会随时间变化，所以即是 守恒量，而守恒量与系统的对称性有着深刻的联系（就是著名的诺特定理）。时间均匀性对应着能量守恒，空间均匀性对应着动量守恒，空间各向同性对应着角动量守恒（诺特定理也为我们基于对称性寻找新的守恒量提供了范式）。朗道精髓的体现之一即是利用拉格朗日函数可以乘以任意常数+势能是坐标齐次函数直接得出开普勒第三定律：轨道运动周期平方与轨道尺寸立方成正比，而不需要求解牛顿方程/欧拉-拉格朗日方程（拉格朗日函数是研究 对称性、守恒量、不变性的强有力工具）。

第三章对于具体问题我们仍旧要求解欧拉-拉格朗日，但是利用运动积分可以大大简化我们对方程的求解。比如利用能量守恒，一维运动通过求一次积分即可求解。对于有心力场内的运动（即行星的运动），利用角动量守恒，我们 即可得到 开普勒第二定律 ：相等时间间隔内质点径矢扫过相同面积；利用空间各向同性，我们可以将问题简化为一维（径矢大小）问题，通过一次积分即可求解，这样我们就翸   彻底 解决了 开普勒 问题，行星的运动轨迹都是在一个平面内的圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

第四章力学体系的具体运动过程取决于质点间的相互作用的细节。但是利用守恒量如能量守恒和动量守恒我们可以直接得到力学过程的重要结论而不依赖于质点间相互作用的具体形式（又是朗道的精髓）。这类问题为质点分裂、质点弹性碰撞，利用守恒律我们可以根据初态定出末态。相互作用会决定质点的散射截面，反过来，根据实验上测量的散射截面的信息，我们可以研究未知的相互作用的具体形式和物质结构，如卢瑟福散射。

第五章力学里能够得到精确求解的问题少之又少，很多问题都需要求解非线性方程。而微振动问题一方面不失普遍性，另一方面由于其运动方程是线性方程使得问题可以  精确求解  （这提示我们遇到新的问题先试图把它化为线性问题，建立物理直觉，然后再进一步考虑非线性修正）。线性问题一个特点就是线性叠加，自由振动做简谐运动，强迫振动是自由的简谐运动和强迫的  简谐运动的叠加。这引出了一个很重要的概念——共振（很多实验其实是在测量共振信号，当外部频率与系统本征频率相近时，发生共振，才能观测到尖锐的信号）。对于多自由度系统的振动，利用拉格朗日力学的天然优势，很自然从单自由度推广多自由度，欧拉-拉格朗日是一些线性方程组，利用一些线性代数的知识，通过线性变换，即可求解。最关键的是   由于是线性问题，不同模式可以解耦（一直在强调线性）。对于实际体系，必然有摩擦（即耗散过程），这一项也可以通过线性项加到运动方程里，由于其耗散能量，使得简谐运动变为阻尼运动。这时候我们再考虑有摩擦的强迫振动，我们发现由于摩擦的存在使得共振可发生在一定频率内（这也是为什么实验上   观测到的 不是一个Dirac函数的信号，而是一个洛伦兹峰型的信号 ）。

第六章

刚体是一个只存在于牛顿力学的概念，在相对论力学里没有刚体。

第七章拉格朗日力学以广义坐标和广义速度为独立变量，而哈密顿力学以广义坐标和广义动量为独立变量，这两者以勒让德变换相互联系（在牛顿力学里这个变换的意义不是很明显，因为我们会很naive地认为动量=质量x速度，但是在热力学里面，涉及到体积、压强、温度、熵等“真”广义坐标和广义速度/动量，这时候以哪组独立变量描述热力学函数具有实际意义）。哈密顿力学引入哈密顿函数，对应的运动方程为哈密顿方程，将原本的二阶微分方程组欧拉-拉格朗日方程降为一阶微分方程组，并直接显示出运动方程的辛对称性。哈密顿函数的物理意义是其为系统的能量。

不变量/守恒量在力学里扮演了至关重要的角色，在哈密顿力学里，通过引入泊松括号可以直接得到不变量/守恒量：其与哈密顿函数的泊松括号为零。根据泊松定理，泊松括号还可以给出新的不变量/守恒量（泊松括号在量子力学里即变为对易子，而量子力学里的不变量/守恒量即是其与哈密顿量的对易子为零）。如果说拉格朗日力学确定了拉格朗日函数的核心地位，那么哈密顿力学确定了作用量的核心地位。并且作用量可以是坐标的函数（拉格朗日力学里作用量是一个定积分，其变分极值确定运动方程欧拉-拉格朗日方程，哈密顿力学里我们考虑作用量是一个不定积分，但是其实际轨道总是满足欧拉-拉格朗日方程，则得到作用量为坐标的函数），作用量对空间坐标偏导是动量，作用量对时间坐标偏导是能量（这样的范式对于相对论力学也成立，也更容易推广到四维形式，而诺特定理最直接的证明即是利用作用量的不变性，这也让我们看到哈密顿力学的深刻性）。哈密顿力学对力学体系的描述更加对称，所以被冠之以正则之名。

拉格朗日力学建立在位形空间，而哈密顿力学建立在相空间，有更大的变分自由度，同时也对正则共轭变量的变换提出了限制，只有正则变换才能满足正则方程（哈密顿方程）辛对称性（好多正则╮(╯▽╰)╭）。用泊松括号的语言即正则变换保持泊松括号的形式（微振动里面得到简正坐标即是线性正则变换，笔者曾经研究过相互作用Kitaev链，通过一个非线性非局域正则变换，保持对易关系形式不变，将问题化简为无相互作用模型，也即线性问题，得到模型的严格解，这算不算一个小广告？(*^__^*) ）。对于正则变换的一个深刻理解就是运动本身可看做由作用量作为母函数对应的正则变换，这也有一个直接的推论，即刘维尔定理：运动下相空间体积不变。相比于哈密顿方程和欧拉-拉格朗日方程，哈密顿力学还提供了另一方程，使得求解运动方程变得更为系统，即哈密顿-雅可比方程。其核心是找到一个正则变换，将所有的正则共轭变量  变成  所有的积分常数。这样一套方法对于可分离变量的体系十分有用，剩下的就是找到一个合适的坐标系将变量分离。

对于绝热演化的系统，哈密顿力学给出了一个很关键的不变量——绝热不变量。考虑能量守恒系统，作用量约化为简约作用量，根据作用量即是正则变换母函数，绝热不变量即是简约作用量为母函数的正则变量，称为作用变量（作用变量在封闭系统下是运动 积分常数，即不变量/守恒量，在非封闭体系，即绝热演化下，其周期平均意义下是不变量），其共轭变量为角变量（在经典力学里称为Hannay角，在量子力学里称为Berry phase）。当我们用正则变量，即作用变量和角变量描述系统运动时，我们可以讨论运动的周期性。如果不同角变量的运动频率可公度，体系出现简并，而对于简并系统，体系出现新的运动积分  ，即不变量/守恒量，一个直接的推论是有心力场的运动有简并，所以除了能量守恒和角动量守恒，还有另一个守恒量，即拉普拉斯-龙格-楞次矢量（从这一点来说，哈密顿力学实在是太深刻   了）。 朗道《力学》的精髓是对于力学的物理分析，这是一般教材无法企及的，同时作为教程的开山之作，为后续的教程埋下了伏笔，很多讨论只有在学习后之后的教程才能体会朗道的深意。我个人觉得这本书最重要的是朗道最后写的序言，其论述了什么是理论物理学，其与数学物理的区别，强调了实验是理论物理的基础，特别强调近似分析在理论物理中起着重大作用，甚至很多理论本身即是近似的。

朗道算是经典力学入门书之一，感觉经典力学类似于内功，内功越深厚，理解更复杂的才越快